Hipérbola

Definición:

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.



Tipos y características :

V,V' : vertices

F,F' : focos

L: eje focal

L': eje normal

C: centro

__

VV' : eje transverso V(a,0) ; V'(-a,0)

Longitud del eje transverso es 2*a

__

AA' : eje conjugado A(0,b) ; A(0,-b)

Longitud del eje conjugado es 2*b

Teoremas y ecuaciones:

1era Ecuacion Canónica de la Hipérbola

es cuando : C(h,k)= C(0,0)

*La ecuación de la hipérbola del centro en origen, el eje focal coincide con el eje X, donde los puntos F(c,0) y F'(-c,0):


X²/a²- Y²/b²=1

*si el eje focal coincide en el eje Y , de tal manera que las coordenadas sean para F(0,c) y F'(0,-c),entonces su ecuación es:
  Y²/a²-X²/b²=1

 

2da Ecuación canónica de la hipérbola:

*De centro C (h,k) y eje focal paralelo al eje X, es de la forma:

(X-h)²/a²-(Y-k)²/b²=1


*Si el eje focal es paralelo al eje Y, su ecuación es:

   (Y-k)²/a²-(X-h)²/b²=1



* Pasar a la forma general  (Ax²+By²+Cx+Dy+E=0) la ecuación canónica (X-2)² /9-(Y+3)²/4=1,


correspondiente a una hipérbola.

Elimineos los denominadores y desarrollemos los cuadrados:
4(x-2)²-9(y+3)²=36
4(x²-4x+4)-9(y²+6y+9)=36
4x²-16x+16-9y²-54y-81=36
4x²-9y²-16x-54y-101=0SOLUCION:
La ecuación de la forma general queda:4x²-9y²-16x-54y-101=0
Llevar de la ecu. General àCanónica Pasar a la forma canónica   (Y-k)²/a²-(X-h)²/b²=1, la ecuación general  -25x²+16y²+50x-64y-361=0  

correspondientea una hipérbola: 

Agrupar en términos comunes:
(y-2)²/25-(x+1)²/16=1

SOLUCION:

La ecuación de la forma canónica queda:

(y-2)²/25-(x+1)²/16=1

(-25x²+50x)+(16y²-64y)=361

Completamos los cuadrados, factorizando primero el coeficiente de -25 para x 16 para y:

-25(x²+2x)+16(y²-4y)=361

-25(x²+2x+(2/2)²)+16(y²-4y+(-4/2)²)=361-25(2/2)²+16(-4/2)²

-25(x-2)²+16(Y+1)²/400=400/400 

Donde A y B tienen signos opuestos.

Procedimientos:

Llevar de la ecu. Canónica à General

Ecuación general de la hipérbola:

Ax²+By²+Cx+Dy+E=0

 

Ejercicio :

  

De la ecuación general  9x²-4y²+90x+189=0  determina la posición de su eje transversal y

las coordenadas del centro.

Solución:

*Factorizamos términos comunes        9(x²+10x) -4y²=-189

*Completamos cuadrados                  9(x²+10x+(10/2) ²)-4y²=-189+9(10/2) ²

*Factorizamos y simplificamos           9(x+5) ²/4-y²/9=1

*Multiplicamos por 1/36                     (x+5) ²/4- y²/9=1

Concluimos que su eje transversal es paralelo al eje y. Las

Coordenadas del centro C(-5,0) por tanto, se encuentra fuera

del origen.

Citas:

Definición. [en línea]. Dirección de la página Web: http://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%A9rbola
Tipos y características. [en línea]. Dirección de la página Web: http://www.scribd.com/doc/1409750/TEORIA-DE-HIPERBOLAS
Teorema y ecuaciones [en línea]. Dirección de la página Web: http://www.amolasmates.es/pdf/Temas/1BachCT/Lugar%20Geometrico.pdf
Imágenes [en línea]. Dirección de la página Web: http://www.scribd.com/doc/1409750/TEORIA-DE-HIPERBOLAS
http://www.amolasmates.es/pdf/Temas/1BachCT/Lugar%20Geometrico.pdf

                   

Nature by numbers --> 1.concepto trabajado/ 2.mi opinión

1.-El concepto trabajado fue el de mediatriz pues se ve reflejado en las alas de los insectos en este caso la libélula y podemos reconoserlo por las rectas que cortan el triángulo perpendicularmente en el punto medio.

2.- En  general el video me encanto,  ver como todo lo que esta a nuestro alrededor esta involucrado con los números; pero lo que mas llamo mi atencion son las alas de la libélula (son tan chiquitas pero cuando las obsevar detalladamente ves poligonos que a su vez se consiguieron sacando las mediatrices de los triángulos).


-Video. [en línea]. Dirección de la página Web: http://www.youtube.com/watch?v=kkGeOWYOFoA
-imagenes. [en línea]. Dirección de la página Web: http://www.etereaestudios.com/docs_html/nbyn_htm/about_index.htm

Triángulos -->elementos y tipos.

Triángulo

Es una porción limitada por tres rectas que se cortan. Los puntos de

Intersección de las tres rectas se llaman vértices. Un triángulo es una

poligonal cerrada con tres lados y tres ángulos. La suma de sus ángulos es

180º. El área del triángulo es un medio del producto de su base por su altura.

Según sus ángulos:

Triángulo rectángulo: tiene un ángulo recto (un ángulo de 90º).  

   

Triángulo acutángulo: los tres ángulos agudos.

Triángulo obtusángulo: tiene un ángulo obtuso.

Según sus lados:
 

Triángulo equilátero: los tres lados iguales.

         

Triángulo isósceles: dos lados iguales y uno desigual.

           

Triángulo escaleno: sus tres lados son desiguales.

  

Rectas y puntos notables en un triángulo

Alturas: son segmentos perpendiculares a un lado y que pasan por el ángulo

Opuesto.

Medianas: son los segmentos que van desde un vértice a la mitad del lado

Opuesto.

Mediatrices: Son segmentos perpendiculares a los lados que se trazan desde

el punto medio, el punto donde se cruzan se llama circuncentro, este punto es

el centro de una circunferencia que se circunscribe al triángulo.

Bisectrices: Las bisectrices de un triángulo son segmentos que dividen cada

ángulo en dos partes iguales, las bisectrices se cortan en un punto llamado

incentro, este punto es el centro de una circunferencia inscrita.

Ortocentro: se llama al punto donde se cruzan estas tres alturas.

Baricentro: se llama al punto donde se cruzan las medianas.

Circuncentro: se llama al punto donde se cruzan las mediatrices.

Incentro: se llama al punto donde se cortan las bisectrices.

Citas:

Triángulo concepto. [en línea]. Dirección de la página Web: http://www.scribd.com/doc/87463/Geometria-de-las-figuras-planas

Clasificación de triángulos [en línea]. Dirección de la página Web: http://www.estudiantes.info/matematicas/geometria/triangulos.htm

Rectas y puntos notables de un triangulo. [en línea]. Dirección de la pagina Web: http://www.scribd.com/doc/87463/Geometria-de-las-figuras-planas

Cálculo aplicado in gene's life

Un  ejemplo donde puedo aplicar el calculo  en mi vida es en mi casa ya que tiene un  balcón, pues es una especie de plataforma que sobresale de la pared (un voladizo) y para calcular ese balcon utilizaria la formula de la viga y se le agregaria el voladizo. se buscaria en la viga la deformación y tensión, esfuerzo internos, ecuacion de equilibrio y calculo de tensiones.
 -las formulas de la viga apoyada con volado a un extremo con una carga uniformemente distribuida:

 

VIGA CON VOLADIZO

-Aplicación de cálculo  en ingeniería civil.
Apliquese cálculo cuando se construye una viga, es decir, un solido real deformable. En este caso sería una viga con voladizo o cantilever donde uno o ambos extremos de la viga sobresalen de los apoyos (ej: puentes). con cálculo hallamos en las vigas deformación y tension , esfuerzo interno, ecualciones de equilibrio y calculo de tensión.
Ejemplo: 

- Determinación de las reacciones y acciones internas en una viga con voladizo .
 

 

                                            

Cálculo es :

        La  matemática del movimiento y en cambio. Donde haya movimiento o crecimiento, donde fuerzas variables produzcan aceleración, el cálculo es la rama de las matemáticas que debemos aplicar.

Cálculo de una variable de Thomas / Finney, editado por Addison Wesly Longman, 1998.