Hipérbola

Definición:

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.



Tipos y características :

V,V' : vertices

F,F' : focos

L: eje focal

L': eje normal

C: centro

__

VV' : eje transverso V(a,0) ; V'(-a,0)

Longitud del eje transverso es 2*a

__

AA' : eje conjugado A(0,b) ; A(0,-b)

Longitud del eje conjugado es 2*b

Teoremas y ecuaciones:

1era Ecuacion Canónica de la Hipérbola

es cuando : C(h,k)= C(0,0)

*La ecuación de la hipérbola del centro en origen, el eje focal coincide con el eje X, donde los puntos F(c,0) y F'(-c,0):


X²/a²- Y²/b²=1

*si el eje focal coincide en el eje Y , de tal manera que las coordenadas sean para F(0,c) y F'(0,-c),entonces su ecuación es:
  Y²/a²-X²/b²=1

 

2da Ecuación canónica de la hipérbola:

*De centro C (h,k) y eje focal paralelo al eje X, es de la forma:

(X-h)²/a²-(Y-k)²/b²=1


*Si el eje focal es paralelo al eje Y, su ecuación es:

   (Y-k)²/a²-(X-h)²/b²=1



* Pasar a la forma general  (Ax²+By²+Cx+Dy+E=0) la ecuación canónica (X-2)² /9-(Y+3)²/4=1,


correspondiente a una hipérbola.

Elimineos los denominadores y desarrollemos los cuadrados:
4(x-2)²-9(y+3)²=36
4(x²-4x+4)-9(y²+6y+9)=36
4x²-16x+16-9y²-54y-81=36
4x²-9y²-16x-54y-101=0SOLUCION:
La ecuación de la forma general queda:4x²-9y²-16x-54y-101=0
Llevar de la ecu. General àCanónica Pasar a la forma canónica   (Y-k)²/a²-(X-h)²/b²=1, la ecuación general  -25x²+16y²+50x-64y-361=0  

correspondientea una hipérbola: 

Agrupar en términos comunes:
(y-2)²/25-(x+1)²/16=1

SOLUCION:

La ecuación de la forma canónica queda:

(y-2)²/25-(x+1)²/16=1

(-25x²+50x)+(16y²-64y)=361

Completamos los cuadrados, factorizando primero el coeficiente de -25 para x 16 para y:

-25(x²+2x)+16(y²-4y)=361

-25(x²+2x+(2/2)²)+16(y²-4y+(-4/2)²)=361-25(2/2)²+16(-4/2)²

-25(x-2)²+16(Y+1)²/400=400/400 

Donde A y B tienen signos opuestos.

Procedimientos:

Llevar de la ecu. Canónica à General

Ecuación general de la hipérbola:

Ax²+By²+Cx+Dy+E=0

 

Ejercicio :

  

De la ecuación general  9x²-4y²+90x+189=0  determina la posición de su eje transversal y

las coordenadas del centro.

Solución:

*Factorizamos términos comunes        9(x²+10x) -4y²=-189

*Completamos cuadrados                  9(x²+10x+(10/2) ²)-4y²=-189+9(10/2) ²

*Factorizamos y simplificamos           9(x+5) ²/4-y²/9=1

*Multiplicamos por 1/36                     (x+5) ²/4- y²/9=1

Concluimos que su eje transversal es paralelo al eje y. Las

Coordenadas del centro C(-5,0) por tanto, se encuentra fuera

del origen.

Citas:

Definición. [en línea]. Dirección de la página Web: http://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%A9rbola
Tipos y características. [en línea]. Dirección de la página Web: http://www.scribd.com/doc/1409750/TEORIA-DE-HIPERBOLAS
Teorema y ecuaciones [en línea]. Dirección de la página Web: http://www.amolasmates.es/pdf/Temas/1BachCT/Lugar%20Geometrico.pdf
Imágenes [en línea]. Dirección de la página Web: http://www.scribd.com/doc/1409750/TEORIA-DE-HIPERBOLAS
http://www.amolasmates.es/pdf/Temas/1BachCT/Lugar%20Geometrico.pdf